现在的问题是要找到 n次加泰罗尼亚数模 M ，其中 M 是不会贷， M =（10 ^ 14 + 7）。这里有方法，这些方法我都试过了列表：（最大 N =万）

动态编程查表，太慢了 使用加泰罗尼亚语式 NCR（2 * N，N）/（N + 1），这又是不够快，由于 NCR 功能，不能使用幂平方加快，因为 M 不是素数。 的pre-生成 在硬codeA表加泰罗尼亚，但是失败了，由于文件大小限制。 递推关系 C（I，K）= C（I-1，K-1）+ C（I-1，K），这是太慢

所以，我想知道是否有任何其他更快的算法来找到 n次加泰罗尼亚数字，我不知道呢？

用动态规划

 无效generate_catalan_numbers（）{
    加泰罗尼亚[1] = 1;
    的for（int i = 2; I＆LT; = MAX_NUMBERS;我++）{
        对于（INT J = 1; J＆LT; = I  -  1; J ++）{
            加泰罗尼亚[I] =（加泰罗尼亚语[I] +（（加泰罗尼亚语[J]）*加泰罗尼亚语[我 -  J]）％模）％模运算;
        }
        加泰罗尼亚[i] =加泰罗尼亚语[I]％模运算;
    }
}
 

使用原配方

  ULL n_choose_r（ULL N，ULL R）{
    如果（正＆其中; r）的
        返回0;

    如果（R将N / 2）{
        R =正 -  R的;
    }

    ULL结果= 1;
    ULL common_divisor;
    的for（int i = 1; I＆LT; = R ++我）{
        common_divisor = GCD（结果，我）;
        结果/ = common_divisor;
        结果* =（正 -  I + 1）/（I / common_divisor）;
    }

    返回结果;
}
 

使用递推关系

  ULL n_choose_r_relation（ULL N，ULL R）{
    对（INT I = 0; I＆其中; = n + 1个++ⅰ）{
        对于（INT K = 0; K＆LT; = R＆安培;＆功放; K＆LT; =我++ K）{
            如果（K == 0 ||满足K == I）{
                NCR [I] [K] = 1;
            }
            其他 {
                NCR [I] [K] =（NCR [我 -  1] [K  -  1] + NCR [我 -  1] [K]）％模运算;
            }
        }
    }

    返回NCR [N] [R]。
}
 

解决方案

简单，peasy。计算二项式系数的主要因素。用筛子一个简单的任务。我不会进入它的其余部分，但powermod计算是微不足道的，你甚至不需要一个鸿沟。

对于N = 10000，我在短期内得到42224403014400。

不过，如果你想完整的数字本身，10000'th加泰罗尼亚数字本身就是...

  22453781249338521563359358425736057870110358621936588777329371383585
443658870053449099810271911432021020990539379958970114932732650095370271
397751300183876130693653440780258549445459994177372998459176454278220288
679699783327649549651476024591222065426709156831181207130089121989402216
517545144106669143509197596949973192167548893412063804651413496597406903
967719298471463870452875276986356795262033484770727452974197655810423629
386184662262278329466750526865120502476640878488187299740404235631962632
335108916990663560351330901464515744357084282208286669901241545533951877
777078174205283779947690623035078595904048715811899275348402286537327410
009576296851062523691528014340846065120667839872568170381150542379156626
173532955062796771718993285598391346886779480658586379448386923993317934
139425945651509102645665277040984870211604644540699508509248821099873225
565699224344151993874742555422872473424262356666363196825449089721410665
537521519676271082500130505509387186351879731113568837096419481746389018
721284533242225719341420124434480886444987373634542567071582458263380247
628252179873943804465262216365735901268165347321451279736504798992232739
106390706179212626442096326217616178171108663008963682821183764312867791
507672494716865305031842633900748973827504534625795968537648004286087039
823233370550650634239448544304798764239028734674653967478032618882557954
859328131980782727940394400855369003385513208814011609977239377877068501
893633819436630205358663340684840462204867552576509569736390978718963517
869423927523718504671005747648411794527978689778762460237949479732242725
154275831263823307362585789708343583184171797113785187466609433767144371
710845773715328364171910363978492352051901370003068055356444233141131383
192077598317531370925033378421138581148001529316546340657631162629562941
211065221871760353772365014435796695284269667873562415761642871681276498
507492541421942131281008978510862112693424595990036710403533420006771490
575482785612280198742983770649313043583275207213939274300662039637048647
395250014477941359641726047221826652916778311801541491816826072282488555
018173563867058868251361080516013361134986419403377613243853586312008767
909635869692823359899687030213634793656744420820912530014968355236934193
747181786083577435923400955703014812335311495073521773651461701750485101
119310472898683618090898735223665962918372501660743711042258315604294195
583076309209507444333462531858856911411408798540404888967120239682480627
570158137868956844950713279360385273144560292399045892610118082102910880
862332337854786916935223744892537176357434650161037841572213751901947447
479406915511862629144757855890852243043614898752155191154178797427659170
858428903659564218086017881546286273599385917718058276038925354040884258
022546721698832195059172836919416429064599278227491956109630837263590884
232587058023101145921693423507849076470763334833613166731358258440439729
023251976962577737416518794914009277934381234511794730677137605309953636
716963188964230436087118746073758080815722286112796870306754227017546055
347853334923811143440952672436342961180384459596879312187164969968096364
679341577416027452001090523659332406246454292701122715894579618818643071
139925009651888661718404932582731927646801878919152052218535889565319288
284306134970608577076704660104569794464663831193002735423564364371354521
236158069405955372080665906666149641642367693009585743888230289135078928
729184475260174446278915850624301208853693618442212023236924456444468934
014289741543223145235333811594418344798647068944904371005158995839127368
111629241573877617157577569590584624720552246920280151741755137476154967
741272080362312952750328628775530857638646138592895858764915987201920286
661490154786097488396300779244279606416541720716707237058679072236693234
932525387774462125138686406910133757255779021404876020200833761157767584
015369673586027681003369474431448843539054790848335705489738731700240579
310855452462903455809888697753847348175077261616431384533713924568807999
599683993362082982833949280082553659996487889394727840889035163412693106
865702752400579571351436509808650503057036278511515529330634352096987240
087618010503197530225589878764240330302768263496958673020211712107611762
945771002810537812467742009399047607169797035466100221770262334445478074
080845928677855301631860443068261061887109865290453732333638130446973519
286828584088203627113605849939106943614542645022903932947597417823646592
053417189520415596451505598330301782369213897762201629272201936584136036
027455748892667375417522206148332891409959866390232031014358337935412166
49961737330866136929273913844862616108923144504​​6384163766705419698533262
040353901193260661841441922949263756492472641127072018961101915467728184
640938751407261817683231072132781927769994322689591991504965204544928105
747119997826784396172488376877215547707335474490892399544875233372674064
22928721075004583497180263227556​​9822679385098328070604595140732389126327
092826465756212595551194678295464565601548041854366455751504169209131794
100099734293551231149329072243438440125013340293416345726479426178738686
238273833019523777019099811511419301476900607138083408535229058593795242
998150989330379630607152057165593682028276808657989133687600036850256257
973833780907105126134335912174477305526445570101413725539992976023375381
201759604514592679113676113078381084050224814280307372001545194100603017
219283437543128615425515965977881708976796492254901456997277712672653778
789696887633779923567912536882486775488103616173080561347127863398147885
811314120272830343521897029277536628882920301387371334992369039412492040
272569854478601604868543152581104741474604522753521632753090182704058850
525546680379379188800223157168606861776429258407513523623704438333489387
460217759660297923471793682082742722961582765796049294605969530190679149
426065241142453853283673009798518752237906836442958353267589634936329512
043142900668824981800672231156890228835045258196841806861681826866706774
199447245550164975361170844597908233890221446745462710788815648943858461
7793175431865532382711812960546611287516640
 

The problem is to find the n-th Catalan number mod m, where m is NOT prime, m = (10^14 + 7). Here are the list of methods that I have tried: (max N = 10,000)

Dynamic programming for table look-up, too slow Use Catalan formula ncr(2*n, n)/(n + 1), again it wasn't fast enough due to the ncr function, can't speed up using exponentiation squaring because m is not prime. Hardcode a table of pre-generated Catalans, but it failed due to the file size limit. Recurrence relation C(i,k) = C(i-1,k-1) + C(i-1,k), this is way too slow

So I wonder is there any other faster algorithm to find the n-th Catalan number that I'm not aware of?

Using Dynamic Programming

void generate_catalan_numbers() {
    catalan[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= MAX_NUMBERS; i++) {
        for (int j = 1; j <= i - 1; j++) {
            catalan[i] = (catalan[i] + ((catalan[j]) * catalan[i - j]) % MODULO) % MODULO;
        }
        catalan[i] = catalan[i] % MODULO;
    }
}

Using original formula

ull n_choose_r(ull n, ull r) {
    if (n < r)
        return 0;

    if (r > n/2) {
        r = n - r;
    }

    ull result = 1;
    ull common_divisor;
    for (int i = 1; i <= r; ++i) {
        common_divisor = gcd(result, i);
        result /= common_divisor;
        result *= (n - i + 1) / (i / common_divisor);
    }

    return result;
}

Using recurrence relation

ull n_choose_r_relation(ull n, ull r) {
    for (int i = 0; i <= n + 1; ++i) {
        for (int k = 0; k <= r && k <= i; ++k) {
            if (k == 0 || k == i) {
                ncr[i][k] = 1;
            }
            else {
                ncr[i][k] = (ncr[i - 1][k - 1] + ncr[i - 1][k]) % MODULO;
            }
        }
    }

    return ncr[n][r];
}

解决方案

Easy, peasy. Compute the prime factors of the binomial coefficient. A simple task using a sieve. I won't get into the rest of it, but a powermod computation is trivial, and you don't even need a divide.

For N = 10000, I get 42224403014400 in short order.

But, if you want the full number itself, the 10000'th Catalan number itself is ...

    22453781249338521563359358425736057870110358621936588777329371383585
443658870053449099810271911432021020990539379958970114932732650095370271
397751300183876130693653440780258549445459994177372998459176454278220288
679699783327649549651476024591222065426709156831181207130089121989402216
517545144106669143509197596949973192167548893412063804651413496597406903
967719298471463870452875276986356795262033484770727452974197655810423629
386184662262278329466750526865120502476640878488187299740404235631962632
335108916990663560351330901464515744357084282208286669901241545533951877
777078174205283779947690623035078595904048715811899275348402286537327410
009576296851062523691528014340846065120667839872568170381150542379156626
173532955062796771718993285598391346886779480658586379448386923993317934
139425945651509102645665277040984870211604644540699508509248821099873225
565699224344151993874742555422872473424262356666363196825449089721410665
537521519676271082500130505509387186351879731113568837096419481746389018
721284533242225719341420124434480886444987373634542567071582458263380247
628252179873943804465262216365735901268165347321451279736504798992232739
106390706179212626442096326217616178171108663008963682821183764312867791
507672494716865305031842633900748973827504534625795968537648004286087039
823233370550650634239448544304798764239028734674653967478032618882557954
859328131980782727940394400855369003385513208814011609977239377877068501
893633819436630205358663340684840462204867552576509569736390978718963517
869423927523718504671005747648411794527978689778762460237949479732242725
154275831263823307362585789708343583184171797113785187466609433767144371
710845773715328364171910363978492352051901370003068055356444233141131383
192077598317531370925033378421138581148001529316546340657631162629562941
211065221871760353772365014435796695284269667873562415761642871681276498
507492541421942131281008978510862112693424595990036710403533420006771490
575482785612280198742983770649313043583275207213939274300662039637048647
395250014477941359641726047221826652916778311801541491816826072282488555
018173563867058868251361080516013361134986419403377613243853586312008767
909635869692823359899687030213634793656744420820912530014968355236934193
747181786083577435923400955703014812335311495073521773651461701750485101
119310472898683618090898735223665962918372501660743711042258315604294195
583076309209507444333462531858856911411408798540404888967120239682480627
570158137868956844950713279360385273144560292399045892610118082102910880
862332337854786916935223744892537176357434650161037841572213751901947447
479406915511862629144757855890852243043614898752155191154178797427659170
858428903659564218086017881546286273599385917718058276038925354040884258
022546721698832195059172836919416429064599278227491956109630837263590884
232587058023101145921693423507849076470763334833613166731358258440439729
023251976962577737416518794914009277934381234511794730677137605309953636
716963188964230436087118746073758080815722286112796870306754227017546055
347853334923811143440952672436342961180384459596879312187164969968096364
679341577416027452001090523659332406246454292701122715894579618818643071
139925009651888661718404932582731927646801878919152052218535889565319288
284306134970608577076704660104569794464663831193002735423564364371354521
236158069405955372080665906666149641642367693009585743888230289135078928
729184475260174446278915850624301208853693618442212023236924456444468934
014289741543223145235333811594418344798647068944904371005158995839127368
111629241573877617157577569590584624720552246920280151741755137476154967
741272080362312952750328628775530857638646138592895858764915987201920286
661490154786097488396300779244279606416541720716707237058679072236693234
932525387774462125138686406910133757255779021404876020200833761157767584
015369673586027681003369474431448843539054790848335705489738731700240579
310855452462903455809888697753847348175077261616431384533713924568807999
599683993362082982833949280082553659996487889394727840889035163412693106
865702752400579571351436509808650503057036278511515529330634352096987240
087618010503197530225589878764240330302768263496958673020211712107611762
945771002810537812467742009399047607169797035466100221770262334445478074
080845928677855301631860443068261061887109865290453732333638130446973519
286828584088203627113605849939106943614542645022903932947597417823646592
053417189520415596451505598330301782369213897762201629272201936584136036
027455748892667375417522206148332891409959866390232031014358337935412166
499617373308661369292739138448626161089231445046384163766705419698533262
040353901193260661841441922949263756492472641127072018961101915467728184
640938751407261817683231072132781927769994322689591991504965204544928105
747119997826784396172488376877215547707335474490892399544875233372674064
229287210750045834971802632275569822679385098328070604595140732389126327
092826465756212595551194678295464565601548041854366455751504169209131794
100099734293551231149329072243438440125013340293416345726479426178738686
238273833019523777019099811511419301476900607138083408535229058593795242
998150989330379630607152057165593682028276808657989133687600036850256257
973833780907105126134335912174477305526445570101413725539992976023375381
201759604514592679113676113078381084050224814280307372001545194100603017
219283437543128615425515965977881708976796492254901456997277712672653778
789696887633779923567912536882486775488103616173080561347127863398147885
811314120272830343521897029277536628882920301387371334992369039412492040
272569854478601604868543152581104741474604522753521632753090182704058850
525546680379379188800223157168606861776429258407513523623704438333489387
460217759660297923471793682082742722961582765796049294605969530190679149
426065241142453853283673009798518752237906836442958353267589634936329512
043142900668824981800672231156890228835045258196841806861681826866706774
199447245550164975361170844597908233890221446745462710788815648943858461
7793175431865532382711812960546611287516640